1º Tema Linear Algebra

Lec 1 | 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

Tema 1 Introducción a los Vectores
1.1 Vectores y combinaciones lineales


http://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c

Aquí tenéis un buen profesor del MIT dando la clase. W. Gilbert Strang

Vamos a ver:

Sistemas de n ecuaciones y n incógnitas

Y vamos a ver

  • Dibujo por filas
  • Dibujo por columnas
  • Forma matricial

Empezamos con un ejemplo de sistema de ecuaciones, 2 ecuaciones con 2 incognitas

2x-y=0

-x+2y=3

Sistema de ecuaciones leneales

Representación matricial del sistema de ecuaciones lineales minuto 3.00

\begin{bmatrix}{2}\;{-1}\\{-1}\;{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{0}\\{3}\end{bmatrix}

A\vec{x}=\vec{b}

Representación gráfica. (dibujo de las rectas en el plano) minuto 6

1º Recta, dos puntos de la misma 2x-y=0 (0,0), (1,2)

Segunda recta -x+2y=3 (-3,0), (-1,1)

punto de corte (1,2) minuto 8

Chequeamos que el punto de corte cumple las dos ecuaciones, por tanto resuelve el sistema de ecuaciones

Representación del sistema por columnas minuto 10
x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}

Representación de las columnas
sustituyamos en el punto (1,2) minuto 11
1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}

Representación como suma de vectores
Es una combinación lineal de columnas para llegar al punto (0,3)

La pregunta es ¿Todas las combinaciones lineales de estas columnas llenan el plano?

Ahora veamos lo mismo para 3 ecuaciones y 3 incógnitas. minuto 15
\\2x-y=0 \\-x+2y-z=-1 \\-3y+4z=4

De forma matricial A\vec{x}=\vec{b}

A= \begin{bmatrix}{2}\;{-1}\;{0}\\{-1}\;{2}\;{-1}\\{0}\;{-3}\;{4}\end{bmatrix} \:\: \vec{b}=\begin{bmatrix}{0}\\{-1}\\{4}\end{bmatrix}

Pintamos el plano -x+2y-z=-1 para ello tomamos los puntos (1,0,0), (0,0,1), (\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})

Pintamos los otros dos planos (nota se haría de forma similar)

Tres planos se cortan en un punto

Si no hay planos paralelos se cortan en un punto

El papel de la representación de los planos, lo que se busca es el punto de corte.

Ahora la representación por columnas minuto 22

x\begin{bmatrix}{2}\\{-1}\\{0}\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}{-1}\\{2}\\{-3}\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}{0}\\{-1}\\{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{-1}\\{4}\end{bmatrix}

Representamos las columnas como vectores
podemos observar que la combinación que funciona para encontrar la solución es:
Solución x=0,\;y=0,\;z=1

0\begin{bmatrix}{2}\\{-1}\\{0}\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix}{-1}\\{2}\\{-3}\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}{0}\\{-1}\\{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{-1}\\{4}\end{bmatrix}

Si cambiaramos el sistema de ecuaciones,
Cambiando solamente el vector de términos independientes, esa es una de las grandes preguntas del Algebra lineal

x\begin{bmatrix}{2}\\{-1}\\{0}\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}{-1}\\{2}\\{-3}\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}{0}\\{-1}\\{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{-3}\end{bmatrix}

Cambiarian los planos, pero no cambiarian los vectores columnas.

En este caso si hay solución el (1,1,0) porque hemos cocinado el vector de incógnitas para que sea la suma de las 2 primeras columnas

La pregunta es : ¿puedo calcula la solución para cada vector de terminos independientes?

¿Puedo resolver Ax=b para cualquier b?

Esta pregunta es la misma Si las combinaciones lineales de los 3 vectores columna, llena el espacio de 3 dimensiones?

Para este caso, para la matriz A que tenemos, la respuesta es si minuto 30

Esta matriz es una buena matriz A, una matriz no singular, una matriz invertible

Cuando podrían ir las cosas mal.

Si tuviéramos los vectores todos en un mismo plano, no llenaría el espacio de 3 dimensiones

Ya que todos los vectores combinación lineal estarían en el mismo plano

Y A no seria una buena matriz

Nota: En la clase de vídeo empieza a hablar de 9 dimensiones (no nos interesa esta parte)

Nuestro sistema tenga la dimensión que tenga sera de la forma A\vec{x}=\vec{b}
por ejemplo

Nos sirve para ver la multiplicación

\begin{bmatrix}{2}\;{5}\\{1}\;{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{1}\\{2}\end{bmatrix}

Pongamolo en columnas,

\begin{bmatrix}{2}\;{5}\\{1}\;{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{1}\\{2}\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}{5}\\{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{12}\\{7}\end{bmatrix}

Y nos sirve para ver la multiplicación de la forma por columnas, y de la forma habitual de multiplicar matrices: por filas.

terminamos viendo que (1,2) es la solución del sistema si b es (12,7)

, y para ver que lo que estamos haciendo las A\vec{x} son combinaciones lineales de las columnas de A.

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